Question

【題目】如圖，在某商業(yè)區(qū)周邊有 兩條公路和，在點(diǎn)處交匯，該商業(yè)區(qū)為圓心角，半徑3的扇形，現(xiàn)規(guī)劃在該商業(yè)區(qū)外修建一條公路，與，分別交于，要求與扇形弧相切，切點(diǎn)不在，上.

（1）設(shè)試用表示新建公路的長度，求出滿足的關(guān)系式，并寫出的范圍；

（2）設(shè)，試用表示新建公路的長度，并且確定的位置，使得新建公路的長度最短.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)取等號.此時(shí)時(shí)，新建公路的長度最短.

【解析】試題分析：（1）由余弦定理求出的長，建立直角坐標(biāo)系，寫出直線的方程，利用與扇形弧相切，得出的關(guān)系式，再寫出的取值范圍；

（2）根據(jù)，求出的值，寫出的解析式，利用三角函數(shù)與基本不等式求出它的最小值.

試題解析：（1）在中，；

由余弦定理得： ；所以；

如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，

所以直線的方程為，即；

因?yàn)?/span>與扇形弧相切，所以，

即.

（2）因?yàn)?/span>是圓的切線，所以.

在中，，在中，，

所以 ，

所以，，

設(shè)，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.

此時(shí)時(shí)，新建公路的長度最短.