Question

（21）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。

       （I）求的解析式；

       （II）是否存在實數(shù)使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)的單調性、極值等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)的性質的方法，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力。

       （I）解：是二次函數(shù)，且的解集是

       可設

       在區(qū)間上的最大值是

       由已知，得

      

       （II）方程等價于方程

       設

       則

       當時，是減函數(shù)；

       當時，是增函數(shù)。

      

       方程在區(qū)間內分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間內沒有實數(shù)根，

       所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數(shù)根。