Question

【題目】已知橢圓：的長軸長為4，離心率為．直線交于點(diǎn)，傾斜角互補(bǔ)，且直線與橢圓的交點(diǎn)分別為（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）在橢圓上是否存在一點(diǎn)，恰好使得四邊形為平行四邊形，若存在，分別指出此時(shí)點(diǎn)和的坐標(biāo)；若不存在，簡述理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)長軸長和離心率即可容易求得，則橢圓方程可得；

（Ⅱ）由點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可容易求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求證斜率為定值；

（Ⅲ）根據(jù)題意，即可容易求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅰ）根據(jù)題意得解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知點(diǎn)在橢圓上.

設(shè)直線 ，即．

令

消去得．

設(shè)，則．

所以．

因?yàn)橹本�和的傾斜角互補(bǔ)，所以直線．

設(shè)，同理可得．

所以

．

即直線的斜率為定值．

（Ⅲ）存在符合已知條件，

且使得四邊形為平行四邊形．