Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當a=1時，求函數(shù)在（2，）處的切線方程:

(2)當a=2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（2）； （2）在上單調(diào)遞增，f（x）無極值． （3）

【解析】

（1）當時，求導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)在處的切線的斜率即為導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點斜式方程即可求出切線方程；

（2）先求出函數(shù)的定義域，把代入到函數(shù)中并求出時的值，在定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（3）把代入到中得到的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)大于0即函數(shù)單調(diào)，可設(shè)，求出其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，求出的最大值，列出不等數(shù)求出解集即為的取值范圍．

解：（1）當時，函數(shù)，

則，

函數(shù)在處的切線斜率為，切點為；

函數(shù)在處的切線方程為：；

即；

（2）函數(shù)的定義域為，

當時，，，

則；

在上單調(diào)遞增，無極值．

（3）由，得；

又函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，

則在上恒成立，

即不等式在上恒成立；

也即在上恒成立，

又在為減函數(shù)，

所以（1）．

所以．

故的取值范圍為．