Question

14．偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：f（4）=f（1）=0，且在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（-1，0）
• C． （-4，-1）∪（1，4）
• D． （-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）

Answer 1

分析 利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)并結(jié)合題中給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)f（x）的圖象，再由x³f（x）＜0得到x³與f（x）異號得出結(jié)論．

解答 解：求x•f（x）＜0即等價于求函數(shù)在第二、四象限圖形x的取值范圍．
∵偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-4）=f（1）=0，
∴f（4）=f（-1）=f（-4）=f（1）=0，
且f（x）在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減與遞增，
如右圖可知：
即x∈（1，4）函數(shù)圖象位于第四象限，
x∈（-∞，-4）∪（-1，0）函數(shù)圖象位于第二象限．     
綜上說述：x•f（x）＜0的解集為：（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4），
故選：D．

點評 本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性做出函數(shù)圖象，并利用數(shù)形結(jié)合求解．