Question

【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若有唯一解,求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，

（附： ）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ）使有唯一解,只需滿足,且的解唯一，求導(dǎo)研究函數(shù)，注意分類(lèi)討論利用極值求函數(shù)最大值；（Ⅱ）只需證即證，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性，極值求其最小值，證明其大于零即可．

試題解析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

要使有唯一解,只需滿足,且的解唯一,

,

①當(dāng)時(shí), ,故在上單調(diào)遞增,且,

所以的解集為,不符合題意；

②當(dāng)，且時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，所以有唯一的一個(gè)最大值為,

令，則,

當(dāng)時(shí)， ,故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞增，

所以，故令,解得，

此時(shí)有唯一的一個(gè)最大值為，且，故的解集是，符合題意；

綜上，可得

（Ⅱ）要證當(dāng)時(shí)，

即證當(dāng)時(shí)， ,

即證

由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)， ,即，又，從而,

故只需證，當(dāng)時(shí)成立；

令，則,

令，則，令，得

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，

且,

由零點(diǎn)存在定理，可知，使得，

故當(dāng)或時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，所以的最小值是或

由，得，

,

因?yàn)?/span>，所以,

故當(dāng)時(shí)，所以,原不等式成立．