Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，通過和兩種情況，確定的正負，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明：；設(shè)，，只需證；通過求導(dǎo)運算，可知，再通過零點存在定理，不斷確定的最值位置，從而證得，證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為

①若時，則，在上單調(diào)遞減；

②若時，當時，

當時，；當時，

故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞増

（2）若且，欲證

只需證

即證

設(shè)函數(shù)，，則

當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以

設(shè)函數(shù)，則

設(shè)函數(shù)，則

當時，

故存在，使得

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

當時，

當時，

故存在，使得

即當時，，當時，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

因為

故當時，

所以

即