Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求零點處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）見解析

【解析】

(I)先把代入得到，根據(jù)零點存在性原理判斷函數(shù)的零點坐標(biāo)原點和，代入求出切線斜率即可求出切線方程；

(II)先構(gòu)造一個函數(shù)，利用這個函數(shù)可得到，從而有，再構(gòu)造，得到，有，再根據(jù)即可證明.

解：（Ⅰ）由題意得：，，定義域為，

，

，在上為減函數(shù)．

，

由零點存在定理可知，在上必存在一點使

當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)，

極大值，

故至多有兩個零點，又，，

故，是的兩個零點，由，，

易得出兩切線方程為：或

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，

設(shè)，

，，

在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)，

當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，

，即，

設(shè)與的交點橫坐標(biāo)為，

，

為增函數(shù)，，

同理設(shè)，

，，

在上為增函數(shù)，，

當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)，

，即，

設(shè)與的交點橫坐標(biāo)為，

，

為減函數(shù)，，

故：，

得證．