Question

【題目】已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）求出，判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可求出函數(shù)的值域。

（2）將代入化簡(jiǎn)得，

令，問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意，恒成立，

對(duì)求導(dǎo)，討論k的取值，判斷，即可得出答案。

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

，，

，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為；

的最小值為，

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

（2）原不等式可化為，任意恒成立。

因?yàn)?/span>恒成立，

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

當(dāng)時(shí)，式可化簡(jiǎn)為

令，則，

1）當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，

所以；

2）當(dāng)時(shí)，令；得，

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以恒成立；

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)但上單調(diào)速減，

，解得.

即

綜上所述：.