Question

16．設(shè)a為正實數(shù)，記函數(shù)f（x）=a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$的最大值為g（a）．
（1）求g（a）；
（2）求滿足g（a）=g（$\frac{1}{a}$）的所有實數(shù)a．

Answer 1

分析 （1）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，求得定義域-1≤x≤1．有t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，且t≥0…①，可得t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，2]，進而得m（t）的解析式．由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，求得直線t=-$\frac{1}{a}$是拋物線m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的對稱軸，a＞0利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最大值為g（a）；
（2）由g（a）的表達式，計算g（a）=g（$\frac{1}{a}$），即可得到所求a的值．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，且t≥0…①，
∴t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，2]．
由①得：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²-1，
∴m（t）=a（$\frac{1}{2}$t²-1）+t=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]．
由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，
∵直線t=-$\frac{1}{a}$是拋物線m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的對稱軸，
當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=m（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-$\frac{1}{a}$知m（t）在t∈[$\sqrt{2}$，2]上單調(diào)遞增，
故g（a）=m（2）=a+2；
（2）由g（a）=g（$\frac{1}{a}$），
即為a+2=$\frac{1}{a}$+2，
解得a=1（-1舍去）．
故滿足條件的a=1．

點評 本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)解析式求解的方法，考查運算能力，屬于中檔題．