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（本小題滿分12分）心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表：（單位：人）

（1）能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？

（2）經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)

間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率.

（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

下面臨界值表僅供參考：

.

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在一定點(diǎn)（），使得當(dāng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)時(shí)，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且），曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若對(duì)任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講

如圖，已知是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接、、、，延長(zhǎng)交于.

（1）證明：；

（2）證明：.

（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

設(shè)集合，，則（ ）

A. B. C. D.

設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）

A. B. C. D.

已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

已知，則（ ）

A. B. C. D.