Question

5．在火車站站臺上有一觀察者，在列車開動時剛好站在第一節(jié)車廂的最前端，列車啟動后做勻加速直線運(yùn)動．5s末時第一節(jié)車廂末端通過觀察者，列車共10節(jié)車廂，每節(jié)車廂長度相等，車廂間的間隙不計，則列車通過觀察者共需時間$5\sqrt{10}$秒，第5節(jié)車廂經(jīng)過觀察者需時間$5（\sqrt{5}-2）$秒，第3節(jié)車廂末端跟第6節(jié)車廂末端經(jīng)過觀察者時的速度之比為$1：\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 本題由位移和時間的關(guān)系以及速度和位移的關(guān)系類比得出，其中結(jié)合初速度為0的勻加速直線運(yùn)動連續(xù)相等的位移所用的時間之比這個推論．

解答 解：設(shè)車廂運(yùn)動的加速度為a，每節(jié)車廂的長度為L，列車通過觀察者共需時間t，由公式$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，可知：$L=\frac{1}{2}a×{5}^{2}$，$10L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，由兩式對比得出：$t=5\sqrt{10}s$
由初速度為0的勻加速運(yùn)動推論：連續(xù)相等的位移所用的時間之比為：$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，所以第5節(jié)車廂經(jīng)過觀察者需時間為：$（\sqrt{5}-\sqrt{4}）×5$s=$5（\sqrt{5}-2）$s，
設(shè)第3節(jié)車廂跟第6節(jié)車廂末端經(jīng)過觀察者時的速度分別為v₃和v₆，由公式${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=2ax$，可知${v}_{3}^{2}=2a×3L$，${v}_{6}^{2}=2a×6L$，對比兩式得出：${v}_{3}：{v}_{6}=\sqrt{3}：\sqrt{6}$=$1：\sqrt{2}$
故答案為：$5\sqrt{10}$，$5（\sqrt{5}-2）$，$1：\sqrt{2}$．

點評 此題難點在于第二步，可以由勻變速運(yùn)動公式推導(dǎo)得出，但較麻煩．可由初速度為0的勻加速直線運(yùn)動的推論直接類比得出，這種方法對于勻減速到0的也可運(yùn)用．