科目：czsx 來(lái)源： 題型：

如圖，E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，連接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，點(diǎn)F在DE上，連接AF，BE=DF．
（1）求證：△ADF≌△ABE；
（2）小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=

2

AE．請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

科目：czsx 來(lái)源：福建省期末題 題型：證明題

如圖，E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，連接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，點(diǎn)F在DE上，連接AF，BE=DF．
（1）求證：△ADF≌△ABE；
（2）小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE﹣BE=AE．請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省三明市大田縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，連接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，點(diǎn)F在DE上，連接AF，BE=DF．
（1）求證：△ADF≌△ABE；
（2）小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源：2016年初中畢業(yè)升學(xué)考試（貴州貴陽(yáng)卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

19．如圖，點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

17．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG、PF相交于點(diǎn)O．
（1）若AP=1，則AE=$\frac{3}{4}$；
（2）①求證：點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到AB邊的距離的最大值．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：

已知，如圖1：在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E，
（1）若以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2：連接PE交BC邊于點(diǎn)F，連接DE，設(shè)AE長(zhǎng)為x，CF長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）將點(diǎn)B沿直線EF翻折，使點(diǎn)B落在平面上的B′處，當(dāng)EF=

5

3

時(shí)，△AB′B與△BEF是否相似？若相似，請(qǐng)加以證明；若不相似，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

17．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線交正方形的外角∠DCF的平分線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，判斷線段AP、PE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GP，請(qǐng)寫(xiě)出三條線段GP、BP、GD的數(shù)量關(guān)系并證明．

科目：czsx 來(lái)源：2010年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

（2010•奉賢區(qū)一模）已知，如圖1：在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E，
（1）若以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2：連接PE交BC邊于點(diǎn)F，連接DE，設(shè)AE長(zhǎng)為x，CF長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）將點(diǎn)B沿直線EF翻折，使點(diǎn)B落在平面上的B′處，當(dāng)EF=時(shí)，△AB′B與△BEF是否相似？若相似，請(qǐng)加以證明；若不相似，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

3．在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如圖1，當(dāng)BE=2時(shí)，求FC的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)EF交正方形ABCD外角平分線CP于點(diǎn)P．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②小京通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有AE=PE．小京把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的三種想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，連接EG，要證AE=PE，需證△AGE≌△ECP．
想法2：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接BH，CH，EH．要證AE=PE，需證△EHP為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE=PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．
請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小京證明AE=PE．（一種方法即可）

科目：czsx 來(lái)源：2012年青海省中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖（*），四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．
（1）探究1：小強(qiáng)看到圖（*）后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強(qiáng)寫(xiě)出了如下的證明過(guò)程：
證明：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵點(diǎn)E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點(diǎn)
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分線
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．

（1）探究1：小強(qiáng)看到圖后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請(qǐng)你寫(xiě)出小強(qiáng)的證明過(guò)程．
（2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：閱讀理解

（2012•青海）如圖（*），四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．
（1）探究1：小強(qiáng)看到圖（*）后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強(qiáng)寫(xiě)出了如下的證明過(guò)程：
證明：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵點(diǎn)E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點(diǎn)
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分線
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

科目：czsx 來(lái)源：2013年江西省吉安市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，BC=4，若點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），且0＜AE≤2，沿BE將△ABE對(duì)折后，點(diǎn)A落到點(diǎn)P處，連接PC．
（1）下列說(shuō)法正確的序號(hào)是______
①．△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱
②．以B為圓心、BA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于H，則點(diǎn)P在AH上（點(diǎn)A除外）
③．線段PC的長(zhǎng)有可能小于2．
④．四邊形ABPE有可能為正方形
（2）試求下列情況下的線段PC的長(zhǎng)（可用計(jì)算器，精確到0.1）．
①以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
②直線CP與BE垂直．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：

如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是BC邊的中點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于F點(diǎn)，則有AE=EF．
（1）如圖2，若點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），上述其它條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述其它條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

19．如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．
（1）探究一：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）探究二：如圖3，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請(qǐng)求出A′C長(zhǎng)度的最小值．
（3）探究三，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，若AD=4，試求出線段CP的最小值．

科目：czsx 來(lái)源： 題型：解答題

10．如圖1，點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，已知AF=3，CF=5，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EA方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BE方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，將△EPQ沿EB翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQGE為菱形？