Question

17．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線交正方形的外角∠DCF的平分線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，判斷線段AP、PE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GP，請(qǐng)寫(xiě)出三條線段GP、BP、GD的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠AHP=∠PCE，再利用互余判斷出∠BAP=∠CPE，進(jìn)而判斷出△AHP≌△PCE（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；
（3）先構(gòu)造全等三角形，判斷出AQ=AQ，∠BAQ=∠DAG，進(jìn)而判斷出△PAQ≌△PAG即可得出PG=PQ，最后用等量代換即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，
在正方形的邊AB上取一點(diǎn)H，使BH=BP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCF=90°，AB=CB，
∴AH=PC，∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，
∵CE是∠DCF的平分線，
∴∠ECF=45°，
∴∠PCE=135°，
∴∠AHP=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APB+∠EPC=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
在△AHP和△PCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAH=∠EPC}\\{AH=PC}\\{∠AHP=∠PCE}\end{array}\right.$，
∴△AHP≌△PCE（ASA），
∴AP=PE；

（2）AP=PE，
理由：如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，AB=AC，
在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使BH=BP，
∴AH=CP，
在△HBP中，BH=BP，
∴∠BHP=45°，
∵CE是∠DCF的平分線，
∴∠PCE=45°，
∴∠AHP=∠PCE=45°，
∵AP⊥PE，
∴∠EPF+∠APB=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPF，
∵∠BAP+∠HAP=180°，∠EPF+∠CPE=180°，
∴∠HAP=∠CPE，
在△HAP和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHP=∠PCE}\\{AH=PC}\\{∠HAP=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△HAP≌△CPE（ASA），
∴AP=PE，

（3）PG+DG=PB，
理由：如圖3，在BC上取一點(diǎn)Q，使BQ=DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=∠ADG=90°，AB=AD，
∴△ABQ≌△ADG（SAS），
∴AQ=AQ，∠BAQ=∠DAG，
∴∠GAQ=90°，
由（2）知，AP=EP，
∵∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠PAQ=45°=∠PAG，
在△PAQ和△PAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠PAQ=∠PAG=45°}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAQ≌△PAG，
∴PQ=PG，
∵PQ=PB-BQ=PB-DG，
∴PG=PB-DG，
即：PG+DG=PB．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，垂直的意義，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，是一道中考�？碱}．