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(2)第三項的系數(shù)為-.第五項的系數(shù)為.由第三項與第五項的系數(shù)之比為-可得n＝10.則＝.令40-5r＝0.解得r＝8.故所求的常數(shù)項為＝45.選A, (3)令.得.令.得, 點評:本題考查二項式展開式的特殊值法.基礎(chǔ)題, 題型6:二項式定理的應(yīng)用例11．證明下列不等式: (1)≥()n,(a.b∈{x|x是正實數(shù)},n∈N); (2)已知a.b為正數(shù).且+=1.則對于n∈N有 (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 證明:(1)令a=x+δ.b=x-δ.則x=, an+bn=n+n =xn+Cn1xn-1δ+-+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+-(-1)nCnnδn =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+-) ≥2xn 即≥()n n=an+Cn1an-1b+-+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+-+Cnnan 上述兩式相加得: 2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+-+Cnk(an-kbk+bn-kak)+-+Cnn(an+bn) (*) ∵+=1.且a.b為正數(shù) ∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4 又∵ an-kbk+bn-kak≥2=2()n ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+-+Cnn-12()n ∴(a+b)n-an-bn ≥(Cn1+Cn2+-+Cnn-1)·()n ≥(2n-2)·2n =22n-2n+1 點評:利用二項式定理的展開式.可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題.題(1)中的換元法稱之為均值換元.這樣消去δ奇數(shù)次項.從而使每一項均大于或等于零.題(2)中.由由稱位置二項式系數(shù)相等.將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加.這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項式展開式解題的常用方法. 例12．(1)求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù), (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1×7除以9.得余數(shù)是多少? (3)根據(jù)下列要求的精確度.求1.025的近似值.①精確到0.01,②精確到0.001. 解析:(1)首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù). ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+-+Cn+1n·4+1. ∴其被4整除的余數(shù)為1. ∴被20整除的余數(shù)可以為1.5.9.13.17. 然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù). ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+-+Cnn-1·5+1). ∴被5整除的余數(shù)為4. ∴其被20整除的余數(shù)可以為4.9.14.19. 綜上所述.被20整除后的余數(shù)為9. (2) 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1·7 =(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1 (i)當(dāng)n為奇數(shù)時原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9-2 ∴除以9所得余數(shù)為7. (ii)當(dāng)n為偶數(shù)時原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余數(shù)為0.即被9整除. 5≈5 =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025 ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5 ∴①當(dāng)精確到0.01時.只要展開式的前三項和.1+0.10+0.004=1.104.近似值為1.10. ②當(dāng)精確到0.001時.只要取展開式的前四項和.1+0.10+0.004+0.0008=1.10408.近似值為1.104. 點評:(1)用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時.通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身椫突蛑钤侔炊検蕉ɡ碚归_推得所求結(jié)論, (2)用二項式定理來求近似值.可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項. 【查看更多】

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