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(本題滿分12分) 如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐．，，點且．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，當為何值時，．

(本題滿分12分)已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：.

(本題滿分12分)國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值υ(美元)與其重量ω(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．

(1)寫出υ關于ω的函數(shù)關系式；(2)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；(3)試用你所學的數(shù)學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大．(注：價值損失的百分率 =  ×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計)

(本題滿分12分)

如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．

（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積．

(本題滿分12分)已知是函數(shù)的一個極值點． 

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當，時，證明：