(一)思想方法總結(jié)
1. 數(shù)形結(jié)合
2. 分類討論
3. 函數(shù)與方程
(一) 函數(shù)性質(zhì)法
函數(shù)的特征是通過(guò)其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來(lái)的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問(wèn)題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5，借助特殊點(diǎn)，布列方程等.
(二 )特殊化方法
1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成－x等
2、在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入
3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題，的解答提供思路和方法.
總之，抽象函數(shù)問(wèn)題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^(guò)對(duì)題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會(huì)收到事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村的快感.
例13、(2008陜西文) 定義在
上的函數(shù)
滿足
(
)，
，則
等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
解：令
，令
；
令
得
考點(diǎn)六：函數(shù)的綜合應(yīng)用
函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問(wèn)題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹(shù)立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵．
例14、(2008廣東高考試題)某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x
10)層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元)。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？
(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=
)
[解析]：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為
元，依題意得
則
，令
，即
，解得
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
，
因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
元.
答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。
［點(diǎn)評(píng)］：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法.
例15、(2007湖北文科高考試題)某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件. 如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，
且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值
(單位：元，
)的平方成正比.
已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．
(I)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；
(II)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？
本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
[解析]：(Ⅰ)設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為
，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，
則依題意有
，
又由已知條件，
，于是有
，
所以
．
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)，我們有
．
|
|
 |
2 |
 |
12 |
 |
 |
 |
0 |
 |
0 |
|
|
|
 |
極小 |
|
極大 |
|
故
時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250207/1010jiajiao.files/image381.gif">，
，
所以定價(jià)為
元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．
［點(diǎn)評(píng)］：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
考點(diǎn)七、函數(shù)的零點(diǎn)
例16、(2008山東荷澤模擬題)函數(shù)
的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 )
A．
B．(1，10) C．
D．
解：因?yàn)閒(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－
＞0，即f(1)•f(10)＜0，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,10)之間有零點(diǎn)。
［點(diǎn)評(píng)］：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)•f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，二分法，函數(shù)的應(yīng)用都是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容。
例17、(2007廣東高考題)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)
，如果函數(shù)
在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，
求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
[解析]當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為f (x)=2x -3，其零點(diǎn)x=
不在區(qū)間[-1，1]上。
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f (x) 在區(qū)間[-1，1]分為兩種情況：
①函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)
或
解得1≤a≤5或a=
②函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)
或
解得a5或a<
綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-∞, ]∪[1, +∞)
考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象
函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫．
復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中得以深化．具體要求是：
1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．
2．從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．
3．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力．
函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來(lái)。
因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面。
1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點(diǎn)法和圖象變換法．
2．會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題．
3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．
4．掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．
例1、(2008廣東汕頭二模)設(shè)集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，則A∩B=( )
A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}
[解析]:由集合B得x>1 ,\ A∩B={x| x>1}，故選(A) 。
［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。
例2、(2008廣東惠州一模) “龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 ( )
[解析]：選(B)，在(B)中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短。
［點(diǎn)評(píng)］函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視。
例3、(2008年廣東惠州一模)設(shè)
，又記
則
( )
A．
；
B．
；
C．；
D．
；
[解析]:本題考查周期函數(shù)的運(yùn)算。
，
，據(jù)此，
，
，因
為
型，故選
.
［點(diǎn)評(píng)］本題考查復(fù)合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學(xué)生觀察問(wèn)題的能力，通過(guò)觀察，關(guān)于總結(jié)、歸納，要有從特殊到一般的思想。
例4、(2008福建文科高考試題)函數(shù)
，若
,則
的值為
( )
A.3 B.0 C.-1 D.-2
[解析]：
為奇函數(shù)，又
故
即
.
［點(diǎn)評(píng)］本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生觀察問(wèn)題的能力，通過(guò)觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過(guò)變換式子與學(xué)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系，使問(wèn)題迎刃而解。
例5、(2008廣東高考試題)設(shè)
，函數(shù)
，
，
，試討論函數(shù)
的單調(diào)性．
[解析]
對(duì)于
，
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上是增函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)；
對(duì)于
，
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上是減函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)。
［點(diǎn)評(píng)］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性，顯得更加簡(jiǎn)單、方便。
考點(diǎn)二：二次函數(shù)
二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了.
學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.
例6、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.
[解析]：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)
的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式.
證明：由題意可知
.
，
∴ 
，
∴ 當(dāng)時(shí)，
.
又
，
∴ 
，
綜上可知，所給問(wèn)題獲證.
［點(diǎn)評(píng)］：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式
。
例7、(2007湖北文科高考試題)設(shè)二次函數(shù)
，方程
的兩根
和
滿足
．
(I)求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
(II)試比較
與
的大小．并說(shuō)明理由．
[解析]法1：(Ⅰ)令
，
則由題意可得
．
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是
．
(II)
，令
．
當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)增加，
當(dāng)
時(shí)，
，即
．
法2：(I)同解法1．
(II)
，由(I)知，
．又
于是
，
即
，故
．
法3：(I)方程
，由韋達(dá)定理得
，
，于是
．
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(II)依題意可設(shè)
，則由，得
，故．
［點(diǎn)評(píng)］本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力．
考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合運(yùn)用.
例8、(2008山東文科高考試題)已知函數(shù)
的圖象如圖所示，則
滿足的關(guān)系是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]：由圖易得
取特殊點(diǎn)
.選A.
［點(diǎn)評(píng)］：本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)比較大小。
例9、(2007全國(guó)Ⅰ高考試題)設(shè)
，函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值之差為
，則
( )
A．
B．
C．
D．
[解析]：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間
上的最大值與最小值分別為
，它們的差為， ∴
，4，選D。
例10、(2008全國(guó)Ⅱ高考試題)若
，則( )
A．<
<
B．<< C． << D． <<
[解析]：由
，令
且取
知<<
考點(diǎn)四：反函數(shù)
反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系。主要利用方法為：
反函數(shù)的概念及求解步驟：①由方程y=¦(x)中解出x=j(y)；即用y的代數(shù)式表示x.。②改寫字母x和y，得出y=¦-1(x)；③求出或?qū)懗龇春瘮?shù)的定義域，(亦即y=¦(x)的值域)。 即反解Þ互換Þ求定義域
互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，
互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系：注意：在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴(yán)格單調(diào)，如y=。
例11、(2007北京高考試題)函數(shù)
的反函數(shù)的定義域?yàn)? )
A．
B．
C．
D．
[解析]：函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250207/1010jiajiao.files/image273.gif">，∴ 選B。
［點(diǎn)評(píng)］：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，即：反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域。
例12、(2008湖南高考試題)設(shè)函數(shù)
存在反函數(shù)
,且函數(shù)
的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),則函數(shù)
的圖象一定過(guò)點(diǎn) .
[解析]由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)得: 
即函數(shù)過(guò)點(diǎn)
則其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)
所以函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)
［點(diǎn)評(píng)］：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移。
考點(diǎn)五：抽象函數(shù)
抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來(lái)比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問(wèn)題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問(wèn)題，
7、掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念，用二分法求函數(shù)的近似解，會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。
6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.
2. 了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖像的繪制過(guò)程．
1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.
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