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2．已知函數(shù)f(x)=x⁴－4x³+10x²，則方程f(x)=0在區(qū)間［1，2］上的根有

A．3個(gè)　　　　　　　　　 B．2個(gè)　　　　　　　　　　　　 C．1個(gè)　　　　　　 D．0個(gè)

試題詳情

3．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的工具，注意它在其它數(shù)學(xué)問題中的綜合與應(yīng)用。

同步練習(xí) 　　　11．5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用　

[選擇題]

1某物體作s=2(1－t)²的直線運(yùn)動(dòng)，則t=0．8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為　 (　 )

A．4　　　　　　　 B．－4　　　　　 C－4．8　　　　　 D－0．8

試題詳情

2．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有兩種方法：

試題詳情

1．利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題的核心是利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，這就轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)問題；

試題詳情

由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9　且當(dāng)x²－1= ,即x=>1時(shí),上式取等號(hào)　

故||的最小值為3

[研討欣賞](2006湖北) 設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)>0，=()．若存在使得||<1成立，求的取值范圍．

解：(1)　　　　　　　　　　　　　　

由f′(3)=0得

所以

令f′(x)=0得

由于x=3是f(x)的極值點(diǎn)，故x₁≠x₂，即a≠-4

當(dāng)時(shí)，，故f(x)在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

當(dāng)a>4時(shí)，x₁>x₂，故f (x)在(－∞,－a－1]上為減函數(shù)，在[－a－1,3]上為增函數(shù)，在[3,+∞)上為減函數(shù)．

(2)當(dāng)a>0時(shí)，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上為增函數(shù)，在[3,4]上為減函數(shù)，在[3,+∞)上為減函數(shù)

因此f(x)在[0,4]上的值域?yàn)?sub>

而在[0,4]上為增函數(shù)，所以值域?yàn)?sub>

注意到，

故由假設(shè)知解得

故的取值范圍是

考查知識(shí)：函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．

試題詳情

[例1]證明：當(dāng)x>0時(shí)，有

證明：設(shè)f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．

∵f^/(x)=1-cosx(僅在x=2kπ(k∈Z)處f^/(x)=0

∴當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，從而有f(x)>f(0)

即x-sinx>0, x>sinx(x>0)

為證不等式，設(shè)

g(x)=sinx-x+,則g(0)=0,

于是g^/(x)>0,∴g(x)在x>0時(shí)遞增，從而有g(shù)(x)>g(0)=0

即

故當(dāng)x>0時(shí)有

提煉方法：證不等式的依據(jù)I：

(1) 若函數(shù)f(x)在x>a可導(dǎo)，且遞增，則f(x)>f(a);

(2) 若函數(shù)f(x)在x>a可導(dǎo)，且遞減，則f(x)《f(a);

關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，一般是左-右，右-左，左÷右等。

[例2]已知

求證：函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。

證明：設(shè)F(x)=(2-x)e^x-1,(x<2)

∵F^/(x)=(1-x)e^x-1,

當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)^/(x)>0,當(dāng)1<x<2時(shí)，F(xiàn)^/(x)<0．

∴x=1時(shí)，F(xiàn)(x)有極大值，也就是最大值。

∴F(x)≤F(1)=1,又x<2,

∴

∴函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。

提煉方法：證不等式的依據(jù)II：

(1)若函數(shù)f(x)在某一范圍內(nèi)有最小值m,則f(x)≥m．

(2)若函數(shù)f(x)在某一范圍內(nèi)有最大值M，則f(x)≤m．

[例3](2006全國Ⅰ)已知函數(shù)　

(Ⅰ)設(shè)a>0，討論y=f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍

解(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?－∞,1)∪(1,+∞)。對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= e^－^ax　　

(ⅰ)當(dāng)a=2時(shí), f '(x)= e^－^2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞) 為增函數(shù)；

(ⅱ)當(dāng)0<a<2時(shí), f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù)；　

(ⅲ)當(dāng)a>2時(shí), 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= 　

當(dāng)x變化時(shí), f '(x)和f(x)的變化情況如下表：

x	(-∞, -)	(-,)	(,1)	(1,+∞)
f '(x)	+	－	+	+
f(x)	↗	↘	↗	↗

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù)。

(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)0<a≤2時(shí), 由(Ⅰ)知: 對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1

(ⅱ)當(dāng)a>2時(shí), 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－^ax≥1,得

f(x)= e^－^ax≥ >1　綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(－∞,2]時(shí),對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。

特別提示：對(duì)于求單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)把定義區(qū)間分開，列出表格，再分析各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間、極值最值，清楚直觀不易出錯(cuò)。

[例4] 　(2006全國Ⅰ) 在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量　求：