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3. 在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，體對角線DB₁與面對角線BC₁所成的角是　　　，它們的距離是　　 .

試題詳情

2. 兩個正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為　　　．

試題詳情

[例1]在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM(　　 ).

A .是AC和MN的公垂線.　 B .垂直于AC但不垂直于MN.

C .垂直于MN，但不垂直于AC.　 D .與AC、MN都不垂直.

錯解:B.

錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.

正解：A.　

[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點.

錯解：證明：、F分別是AB,AD的中點,

∥BD,EF=BD,

又, GH∥BD,GH=BD,

　　四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T,

,F分別是AD.AC與FH交于一點.

直線EG,FH,AC相交于一點

正解：證明：、F分別是AB,AD的中點,

　 ∥BD,EF=BD,

又,

　　 GH∥BD,GH=BD,

四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T,

平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,

,直線EG,FH,AC相交于一點T.

[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行.

錯解：認為正確.

錯因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行.

正解：假命題．

　[例4] 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F．求證：E，F，G，H四點必定共線(在同一條直線上)．　分析：先確定一個平面，然后證明相關直線在這個平面內，最后證明四點共線．　證明 ∵ AB//CD， AB，CD確定一個平面β．　又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，　即 E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．

∵ 兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線， ∴ E，F，G，H四點必定共線．　點　評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結論．

[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，共點(相交于一點)．　分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點M，只要證明M在上，而是兩個平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．

證明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，　∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰．　∴ AB，CD必定相交于一點，　設 AB ∩CD＝M．　又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．　∴ M∈α∩β．　又∵ α∩β＝，∴ M∈，　即 AB，CD，共點．

　點　評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的．

　[例6]已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．　分析：弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎上，根據平面的性質，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內．

證明 1º若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a，b，c相交于一點　A　 ∴ 直線d和A確定一個平面α．

　又設直線d與a，b，c分別相交于E，F，G，則 A，E，F，G∈α． ∵ A，E∈α，A，E∈a， ∴ aα．同理可證 bα，cα． ∴ a，b，c，d在同一平面α內． 2º當四條直線中任何三條都不共點時，如圖． ∵ 這四條直線兩兩相交，則設相交直線a，b確定一個平面α．設直線c與a，b分別交于點H，K，則 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可證 dα． ∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內．

點　評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內．本題最容易忽視“三線共點”這一種情況．因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義．

[例7] 在立方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，　(1)找出平面AC的斜線BD₁在平面AC內的射影；　(2)直線BD₁和直線AC的位置關系如何？　(3)直線BD₁和直線AC所成的角是多少度？

解：(1)連結BD, 交AC于點O .

(2)BD₁和AC是異面直線.

(3)過O作BD₁的平行線交DD₁于點M，連結MA、MC，則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD₁所成的角.

不難得到MA＝MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°， ∴異面直線BD₁與AC所成的角為90°.

[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D，求證：AD⊥PC 證明：∵　PA ⊥平面ABC∴　PA⊥BA 　又∵　BA⊥AC ∴　BA⊥平面PAC 　∴　AD是BD在平面PAC內的射影　又∵　BD⊥PC　 ∴　AD⊥PC.(三垂線定理的逆定理) 四、典型習題導練