Question

11．如圖，開(kāi)口向下的拋物線y=a（x-2）²+k，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸正半軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，過(guò)頂點(diǎn)P，作x軸，y軸的垂線，垂足分別為M，N．
（1）若∠CPM=45°，OC=$\frac{5}{2}$，求拋物線解析式．
（2）若a=-1，△PCM為等腰三角形，求k的值．
（3）在（1）的情況下，設(shè)PC交x軸于E，若點(diǎn)D為線段PE上一動(dòng)點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合），BD交△PMD的外接圓于點(diǎn)Q．求PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由∠CPM=45°可知△PCN為等腰三角形，故CN=PN=2，PM=ON=$\frac{9}{2}$，P（2，$\frac{9}{2}$），再把P，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求值即可；
（2）把a(bǔ)=-1代入拋物線的解析式，再根據(jù)CP=CM，PC=PM=k及MC=MP=k三種情況進(jìn)行討論；
（3）連接MQ，則∠MQD=∠MPC=45°，故∠MQB=135°．以BM為斜邊向x軸下方作等腰直角三角形MEB，則點(diǎn)Q在以E為圓心，ME為半徑的圓上，連接PE，交⊙E于點(diǎn)Q，此時(shí)PQ最小，再由勾股定理即可得出結(jié)論

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k，
∴OM=2．
∵∠CPM=45°，
∴△PCN為等腰三角形，
∴CN=PN=OM=2，
∴PM=ON=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴P（2，$\frac{9}{2}$），
∴y=a（x-2）²+$\frac{9}{2}$．
把C（0，$\frac{5}{2}$）代入得，4a+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+$\frac{9}{2}$；
（2）a=-1時(shí)，y=-（x-2）²+k=-x²+4x-4+k，
∴C（0，-4+k）．
由題意得，P（2，k），M（2，0），
當(dāng)CP=CM時(shí)，-4+k=$\frac{1}{2}$k，
解得k=8；
當(dāng)PC=PM=k時(shí)，
在△PCN中，∵PN=2，CN=k-（-4+k）=4，
∴PC=k=$\sqrt{P{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
當(dāng)MC=MP=k時(shí)，
在Rt△OMC中，∵OM=2，OC=-4+k，
∴OC²+OM²=CM²，
∴（-4+k）²+2²=k²，
解得k=$\frac{5}{2}$（舍）．
綜上所述，△PCM為等腰三角形時(shí)，k=8或2$\sqrt{5}$
（3）如圖，

連接MQ，則∠MQD=∠MPC=45°，
∴∠MQB=135°，
以BM為斜邊向x軸下方作等腰直角三角形MFB，則點(diǎn)Q在以F為圓心，MF為半徑的圓上，連接PF，交⊙F于點(diǎn)Q，此時(shí)PQ最�。�
∵B（5，0），M（2，0），
∴F（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴MF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PF=$\sqrt{（\frac{3}{2}+\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴PQmin=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解本題的關(guān)鍵，難度較大．