Question

15．函數(shù)[x]稱為高斯函數(shù)，它表示不超過x的最大整數(shù)，例如[5.3]=5，[-2.4]=-3，[4]=4．對任意的實數(shù)x，x-1＜[x]≤x．
（1）證明：對于任意實數(shù)x，有[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
（2）解方程：[$\frac{5+6x}{8}$]=$\frac{15x-7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）分別利用：①若x為整數(shù)，②若x不為整數(shù)，分析得出等式成立；
（2）首先得出$\frac{5+6x}{8}$-1＜[$\frac{5+6x}{8}$]≤$\frac{5+6x}{8}$，進而得出求出x的值．

解答 （1）證明：①若x為整數(shù)，則[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=x+x=2x=[2x]；
②若x不為整數(shù)，設(shè)整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為r（0＜r＜1），
當0＜r＜0.5時，此時0＜2r＜1，[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=“a+a=＜r＜0.5，
[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[a]+[a]=2a，[2x]=[2a+2r]=2a，所以[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]，
當0.5≤r＜1時，此時1≤2r＜2，
[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=a+a+1=2a+1，[2x]=[2a+2r]=2a+1，
所以[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]，
綜上得：對任意的實數(shù)x有[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；

（2）解：∵x-1＜[x]≤x，
∴$\frac{5+6x}{8}$-1＜[$\frac{5+6x}{8}$]≤$\frac{5+6x}{8}$，
即$\frac{5+6x}{8}$-1＜$\frac{15x-7}{5}$≤$\frac{5+6x}{8}$，
解得：$\frac{41}{90}$＜x≤$\frac{81}{90}$，
∴$\frac{696}{720}$≤$\frac{5+6x}{8}$≤$\frac{936}{720}$，
∴[$\frac{5+6x}{8}$]=0或1，
則$\frac{15x-7}{5}$]=0或1，
解得：x=$\frac{7}{15}$或x=$\frac{4}{5}$，
經(jīng)檢驗都符合題意．

點評 此題主要考查了取整計算以及不等式的解法等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．