Question

7．（1）求1²-2²+3²-4²+…+99²-100²的和．
（2）探究式子1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²的和．

Answer 1

分析 （1）分組使用平方差公式，再利用自然數(shù)求和公式解題；
（2）由已知得，1²=1，1²-2²=-3，1²-2²+3²=6，1²-2²+3³-4²=-10，根據(jù)已知可得等式的左邊是正整數(shù)的平方和，當n為奇數(shù)時，符號為正；當n為偶數(shù)時，符號為負；所以歸納推理可知，第n個式子．

解答 解：（1）原式=（1²-2²）+（3²-4²）+…+（99²-100²）
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（99-100）（99+100）
=-（1+2）-（3+4）-…-（99+100）
=-（1+2+3+4+…+99+100）
=-5050；

（2）由已知得，1²=1=（-1）²×$\frac{1×（1+1）}{2}$，
1²-2²=-3=（-1）³×$\frac{2×（2+1）}{2}$，
1²-2²+3²=6=（-1）⁴×$\frac{3×（3+1）}{2}$，
1²-2²+3³-4²=-10=（-1）⁵×$\frac{4×（4+1）}{2}$，
…
根據(jù)已知可得等式的左邊是正整數(shù)的平方和，當n為奇數(shù)時，符號為正，當n為偶數(shù)時，符號為負，
所以歸納推理可知，第n個式子為1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了平方差公式的運用，歸納推理，根據(jù)已知歸納推理出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．