Question

4．如圖，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上兩點，過A、B兩點分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D，連接AD、BC，則：
（1）若A、B兩點的坐標分別是（1，4）、（4，1），求S_△OAB；
（2）證明：S_△ABD=S_△ABC．
（3）連接CD，判斷CD與AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥x軸于H，如圖，利用圖形得到S_△OAB+S_△OBH=S_△AOC+S_梯形ACHB，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得S_△OBH=S_△AOC，所以S_△OAB=S_梯形ACHB，然后根據(jù)梯形得面積公式求解；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，設A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}$），然后根據(jù)三角形面積公式可得S_△ABD=S_△ABC=$\frac{b-a}{2a}$k；
（3）由于S_△ABD=S_△ABC，根據(jù)三角形面積公式得到點C點和點D到AB的距離相等，所以CD∥AB．

解答 （1）解：作BH⊥x軸于H，如圖，
∵S_△OAB+S_△OBH=S_△AOC+S_梯形ACHB，
而S_△OBH=S_△AOC，
∴S_△OAB=S_梯形ACHB=$\frac{1}{2}$×（1+4）×（4-1）=$\frac{15}{2}$；
（2）證明：設A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}$），
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•b•（$\frac{k}{a}$-$\frac{k}$）=$\frac{b-a}{2a}$k，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{k}{a}$•（b-a）=$\frac{b-a}{2a}$k，
∴S_△ABD=S_△ABC；
（3）解：CD∥AB．理由如下：
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴CD∥AB．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了反比例函數(shù)k的幾何意義和三角形面積公式．