Question

4．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切⊙O分別與邊AB，BC，CA相切于點D，E，F(xiàn)，且BD=12，半徑r=4，求AD的長．

Answer 1

分析 連接OF、OE．先證明四邊形OECF是正方形，從而可求得BF=DB=3，設(shè)AD=AE=x，最后再Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解可求得x=10，結(jié)論．

解答 解：如圖所示：連接OF、OE．

∵BC是圓O的切線，
∴OF⊥BC．
同理：OE⊥AC．
∴∠OFC=∠C=∠OEC=90°．
∴四邊形OECF是矩形．
∵OF=OE，
∴四邊形OECF是正方形．
∴FC=EC=2．
∴BF=3．
由切線長定理可知：DB=BF=3，AD=AE．
設(shè)AD=AE=x，則AC=x+2，AB=x+3．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，（x+3）²=（x+2）²+5²．
解得：x=10．
∴AD=10．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)和判定、切線長定理，證得四邊形OECF是正方形是解題的關(guān)鍵．