Question

17．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按擬定的價格進行試銷，通過對5天的試銷情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

單價（元/件）	30	34	38	40	42
銷量（件）	40	32	24	20	16

（1）通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)銷量y（件）與單價x（元/件）之間存在一次函數(shù)關系，求y關于x的函數(shù)關系式（不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍）；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然存在（2）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是20元/件．為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少？
（3）為保證產(chǎn)品在實際試銷中銷售量不得低于30件，且工廠獲得得利潤不得低于400元，請直接寫出單價x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設y=kx+b，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）設工廠獲得的利潤為w元，根據(jù)：“總利潤=每件利潤×銷售量”，列函數(shù)解析式并配方可得其最值情況；
（3）根據(jù)銷售量≥30件、獲得的利潤≥400元列不等式組，解不等式組可得．

解答 解：（1）設y=kx+b，
將x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=40}\\{34k+b=32}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=100}\end{array}\right.$，
∴y關于x的函數(shù)關系式為：y=-2x+100；
（2）設定價為x元時，工廠獲得的利潤為w元，
則w=（x-20）•y=-2x²+140x-2000=-2（x-35）²+450
∴當x=35時，w的最大值為450元．
（3）根據(jù)題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2x+100≥30}\\{-2{x}^{2}+140x-2000≥400}\end{array}\right.$，
解得：30≤x≤35．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用：先根據(jù)實際問題得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），再得到頂點式y(tǒng)=a（x+$\frac{2a}$）²+$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，當a＜0，二次函數(shù)有最大值，即x=-$\frac{2a}$時，y的最大值為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，然后利用二次函數(shù)的性質解決有關問題．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的應用．