Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC延長線上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，求BC和BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE．欲證BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可；
（2）根據(jù)AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，求得BE=2$\sqrt{5}$，進而求得BC=2BE=4$\sqrt{5}$，過點C作CG⊥BF于點G，則AB∥CG．解直角三角形求得CG，然后由“平行線截線段成比例”知$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CG}{AB}$=$\frac{BF-8}{BF}$=$\frac{4}{10}$，從而求得BF的值．

解答 （1）證明：連接AE．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半徑，
∴BF為⊙O的切線；

（2）解：過點C作CG⊥BF于點G．
∵AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$，
∵sin∠CBG=sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴CG=BC×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=4，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5）^{2}-{4}^{2}}}$=8，
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CG}{AB}$（平行線截線段成比例），
即$\frac{BF-8}{BF}$=$\frac{4}{10}$
∴BF=$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：切線的判定與性質、勾股定理、平行線截線段成比例、直角所對的圓周角是直角、解直角三角形等知識點．