Question

6．如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足 （a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求△ABC的面積．
（2）在y軸上是否存在點P，使得△ABC和△ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，若AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，且∠ABD=30°，∠E=45°，問BD與AC有何位置關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，進而得出A，B兩點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）分點P在y軸的正半軸上與負半軸上兩種情況進行討論；
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ODB的度數(shù)，再由DE平分∠ODB得出∠BDE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DFB的度數(shù)，同理可得出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)AE平分∠CAB可得出∠CAB的度數(shù)，進而得出∠C的度數(shù)，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×2=4；

（2）當(dāng)點P在y軸正半軸上時，如圖①設(shè)P（0，t），
過點P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（t-2+t）}{2}$-t-（t-2）=4，解得t=3，
∴P（0，3）；
當(dāng)點P在y軸負半軸上時，如圖②設(shè)P（0，t），
過點P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（-t+2-t）}{2}$+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）．
綜上所述，P（0，-1）或（0，3）．

（3）設(shè)AB與DE交于點F，
∵∠ABD=30°，OB⊥OD，
∴∠ODB=60°，∠CBD=90°+30°=120°，
∵DE平分∠ODB，
∴∠BDE=30°，
∴∠BFD=180°-∠ABD-∠BDE=180°-30°-30°=120°，
∴∠AFE=∠BFD=120°．
∵∠E=45°，
∴∠EAB=180°-120°-45°=15°．
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠EAB=30°，
∴∠C=90°-30°=60°，
∴∠C+∠CBD=60°+120°=180°，
∴AC∥BD．

點評 本題考查的是坐標與圖形性質(zhì)，熟知三角形的面積公式及非負數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．