Question

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+m與坐標軸y軸交于點A，與x軸交于點B，過A，B兩點的拋物線y=x²+nx-8，點D為線段AB上一動點，過點D作CD垂直x軸于點C，交拋物線于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當DE=12時，求四邊形CAEB的面積；
（3）是否存在點D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直線y=x+m與拋物線y=x²+nx-8都經(jīng)過A點，得出m的值，再利用一次函數(shù)解析式得出B點坐標，進而得出n的值；
（2）利用D，E點坐標結合DE的長求出D，E點坐標，進而求出四邊形面積；
（3）利用當AC∥BE時，△DEB∽△DCA，當$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{DE}$時，△DEB∽△DAC，分別求出符合題意的答案．

解答 解：（1）∵直線y=x+m與拋物線y=x²+nx-8都經(jīng)過A點，
∴m=-8，
∵直線y=x+m經(jīng)過x軸上的B點，∴點B（8，0），
又∵拋物線y=x²+nx-8經(jīng)過B點，
∴n=-7，
∴拋物線為：y=x²-7x-8；

（2）設點C為：（x，0），則點D為（x，x-8），點E為（x，x²-7x-8），
∵DE=12，∴（x-8）-（x²-7x-8）=12，
解得：x₁=2，x₂=6，
當x=2時，x²-7x-8=-18，
∴CE=18，四邊形CAEB的面積=$\frac{1}{2}$OB×CE=72，
當x=6時，x²-7x-8=-14，
∴CE=14，四邊形CAEB的面積=$\frac{1}{2}$OB×CE=56；

（3）存在，當AC∥BE時，△DEB∽△DCA，
過點A作AF⊥CE于點F，
$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BC}{CE}$，
即$\frac{x}{8}$=$\frac{8-x}{0-（{x}^{2}-7x-8）}$，
∴x²+x-8=0，
解得：x₁=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
當$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{DE}$時，△DEB∽△DAC，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}x}{（x-8）-（{x}^{2}-7x-8）}$，
∴x²-6x=0，
解得：x₁=6，x₂=0（舍去），
綜上所述：當x=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$或x=6時，△DEB和△DAC相似，
則x-8=$\frac{-17+\sqrt{33}}{2}$或-2，
此時點D的坐標為：（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-17+\sqrt{33}}{2}$）或（6，-2）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及四邊形面積求法和相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．