Question

10．已知拋物線y=ax²-2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中．A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，直線y=x+b經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P，現(xiàn)將該拋物線沿直線y=x+b向右上方平移，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)為M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），問(wèn)：在平移過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得△MNQ為等邊三角形？若存在，求出此時(shí)的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、c的值，可求得拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得b=-5，則可設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t-5），過(guò)QC⊥x軸于點(diǎn)C，連接MQ，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，把M點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后的拋物線解析式可求得t，可求得平移后的拋物線解析式．

解答 解：（1）∵拋物線過(guò)A（-1，0），C（0，-3），
∴把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，-4）；
（2）存在．理由如下：
∵直線y=x+b過(guò)P點(diǎn)，
∴把P點(diǎn)坐標(biāo)代入可得-4=1+b，解得b=-5，
∴直線解析式為y=x-5，
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t-5），則平移后的拋物線解析式為y=（x-t）²+t-5，
∵平移后的拋物線與x軸有交點(diǎn)，
∴t-5＜0，
如圖，過(guò)Q作QC⊥x軸于點(diǎn)C，連接MQ，則QC=5-t，OC=t

∵△MNQ為等邊三角形，
∴tan∠QMC=$\frac{CQ}{CM}$=，即$\frac{5-t}{CM}$=$\sqrt{3}$，解得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），
∴OM=OC+CM=t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），
∴M（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5-t），0），
代入平移后的拋物線解析式可得$\frac{1}{3}$（5-t）²+t-5=0，解得t=5（舍）或t=2，
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-2）²-3，
綜上可知存在滿足條件的拋物線，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x-2）²-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的步驟，在（2）中用Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較基礎(chǔ)，綜合性適中，難度不大．