Question

5．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．若CG=8，則S_{四邊形BCDG}=16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)在菱形ABCD中，AB=BD判斷出△ABD為等邊三角形，故可得出∠A的度數(shù)，再由菱形的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)得出點B、C、D、G四點共圓，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，根據(jù)HL定理得出△CBM≌△CDN，由_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
∴∠BCD=60°，
∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．   
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
在Rt△CBM與Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△CDN（HL），
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=$\frac{1}{2}$CG，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG，
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$CG×$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=16$\sqrt{3}$．
故答案為：16$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．