Question

13．已知：如圖，△ABC中，BD⊥AC，D為垂足，BC的垂直平分線EF分別交BD，CA的延長線于點G、F，E為垂足，且DF=$\frac{1}{2}$BC，求證：∠ACB=2∠F．

Answer 1

分析 連結CG，利用垂直平分線的性質得到BG=CG，BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，從而得到∠GBE=∠GCB，DF=BE，證明△BEG≌△FDG（AAS），得到∠F=∠GBE，GE=GD，證明CG平分∠ACB，所以∠ACB=2∠GCB，即可得到∠ACB=2∠F．

解答 解：如圖，連結CG，

∵BD⊥AC，EF垂直平分BC
∴BG=CG，BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠GBE=∠GCB，
∵DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF=BE
在△BEG和△FDG中$\left\{\begin{array}{l}∠BGE=∠FGD\\∠BEG=∠FDG\\ BE=FD\end{array}\right.$
∴△BEG≌△FDG（AAS）
∴∠F=∠GBE，GE=GD，
而GE⊥BC，GD⊥AC
∴CG平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠GCB，
∴∠ACB=2∠F．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是證明△BEG≌△FDG．