Question

14．定義：兩組鄰邊財(cái)應(yīng)相等的四邊形為箏形
如圖，在箏形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{2}$，BC=CD=6，∠DAB=90°
（1）在圖1中，作一條直線將箏形ABCD的面積二等分，并說明理由．
（2）在圖2中，利用尺規(guī)在箏形ABCD中找一點(diǎn)P，連接PB、PD，使折線BPD將箏形ABCD的面積二等分（不寫作法）．并說明理由．
（3）在箏形ABCD中，是否存在一條過點(diǎn)D的直線將箏形ABCD的面積二等分？若存在，求出該箏形截這條直線所得線段的長的平方；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，判定出△ABC≌△ADC，即可；
（2）利用三角形的一條直線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形即可作出圖形；
（3）先求出四邊形ABCD的面積，即可得出四邊形ABQD的面積，從而求出QM，再用平行線分線段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．

解答 解：（1）如圖1，
連接 AC，
證明：在△ABC 和△ADC 中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{CB=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴S_△ABC=S_△ADC
∴AC 所在的直線平分箏形的面積．
（2）如圖2，

作出AC 的中點(diǎn)P，連接BP、DP，折線B-P-D 將箏形ABCD 面積二等分．
證明：在△ABC 中，
∵P 為AC 邊中點(diǎn)，
∴AP=CP，
∴S_△APB=S_△CPB=$\frac{1}{2}$ S_△ABC，
同理：S_△APD=S_△CPD=$\frac{1}{2}$S△ADC，
∵S_△ABC=S_△ADC
∴S_△APD+S_△APB=S_△CPB+S_△CPD
即四邊形ABPD 的面積=四邊形BCDP 的面積
∴折線B-P-D將箏形ABCD面積二等分．
（3）如圖3，

連接BD，AC交于點(diǎn)O．在BC上取一點(diǎn)Q，過Q作QM⊥BD，
∵在△BCO 和△DCO 中，
由（1）知，∠BCA=∠DCA，
在△BCO和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCA=∠DCA}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△BCO≌△DCO，
∴∠BOC=∠DOC，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABD 中，BD=$\sqrt{2}$AB=4，
∴DO=BO=OA=2，
在Rt△BCO 中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD×（AO+CO）=$\frac{1}{2}$×4×（2+4$\sqrt{2}$）=4+8$\sqrt{2}$，
∵在一條過點(diǎn)D的直線將箏形ABCD的面積二等分，
∴S_{四邊形ABQD}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=2+4$\sqrt{2}$，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×OA=4，
∴S_△QBD=$\frac{1}{2}$BD×QM=$\frac{1}{2}$×4×QM=2QM=S_{四邊形ABQD}-S_△ABD=2+4$\sqrt{2}$-4=4$\sqrt{2}$-2，
∴QM=2$\sqrt{2}$-1，
∵QM∥CO．
∴$\frac{BM}{BO}=\frac{QM}{CO}$，
∴$\frac{BM}{2}=\frac{2\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}}$，
∴BM=$\frac{4-\sqrt{2}}{4}$，
∴DM=BD-BM=$\frac{12+\sqrt{2}}{4}$
在Rt△MQD 中，DQ²=DM²+MQ²=$\frac{145-20\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，幾何作圖，勾股定理，求出四邊形ABCD的面積是解本題的關(guān)鍵．