Question

2．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D，E，F(xiàn)，∠C=90°，
（1）求證：四邊形CEOF為正方形；
（2）若AB=10，AC=6，求AD、BE、CF長；
（3）若∠B=30°，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

分析 （1）由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，得到OE⊥BC，OF⊥AF，推出四邊形CEOF是矩形，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，根據(jù)切線的性質(zhì)列方程組即可得到結(jié)論；
（3）解直角三角形得到AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，根據(jù)切線的性質(zhì)列方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OE⊥BC，OF⊥AF，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四邊形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四邊形CEOF為正方形；

（2）∵∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD+BE=10}\\{AD+CF=6}\\{BE+CF=8}\end{array}\right.$，
∴AD=4，BE=6，CF=2；

（3）∵∠B=30°，AC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD+BD=2\sqrt{3}}\\{AD+CF=\sqrt{3}}\\{BE+CF=3}\end{array}\right.$，
∴CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的內(nèi)切圓半徑是$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟知三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點是解答此題的關(guān)鍵．