Question

2．如圖1，將△ABC中紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形DBCE內點A′的位置，探索∠A與∠1+∠2之間的數量關系，并說明理由
（1）如圖2，將△ABC中紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形DBCE的外部點A′的位置，探索∠A與∠1、∠2之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖3，將四邊形ABCD沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE內部點A′D′的位置，請直接寫出∠A、∠D、∠1與∠2之間的數量關系．

Answer 1

分析 根據折疊性質得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根據三角形內角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；
（1）運用三角形的外角性質即可解決問題；
（2）先根據翻折的性質表示出∠3、∠4，再根據四邊形的內角和定理列式整理即可得解．

解答 解：圖1中，2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A；

（1）如圖2，2∠A=∠1-∠2．

∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
∴2∠A=∠1-∠2；
（2）如圖3，

根據翻折的性質，∠3=$\frac{1}{2}$（180-∠1），∠4=$\frac{1}{2}$（180-∠2），
∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠D+$\frac{1}{2}$（180-∠1）+$\frac{1}{2}$（180-∠2）=360°，
整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°．

點評 本題考查了折疊的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理及四邊形內角和的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．