Question

18．如圖，在△ABC中，AD是中線，DE⊥BC交AB于E，AH∥DE交BC于H，且∠DAH=∠CAH，連接CE交AD于F，交AH于G．下列結論：①△AEF∽△CEA；②FH∥AC；③若CE⊥AB，則tan∠BAC=2；④若四邊形AEDG是菱形，則∠ACB=60°．其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由中垂線得出，∠EBC=∠ECB，進而由AH⊥BC，∠DAH=∠CAH，得出，∠ADC=∠ACD，由三角形的外角∠BAD=∠ACE，即結論得證；
②先判斷出四邊形AEDG是平行四邊形，得出DF=AF，再利用中位線得出結論；
③利用等腰三角形的性質，得出DG=EG，DG=CG，再用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，即可；
④先由直角三角形的性質，得出HF=HF，從而得出△FDH是等邊三角形，即可．

解答 解：①∵AD是中線，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵DE⊥BC交AB于E，AH∥DE，
∴AH⊥BC，
∵∠DAH=∠CAH，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠EBC+∠BAD，∠ACD=∠ACE+∠BCE，
∴∠EBC+∠BAD=∠ACE+∠BCE，
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠AEC=∠AEC，
∴△AEF∽△CEA，即①正確，
②∵點G在邊CD的垂直平分線上，
∴∠GDC=∠GCD，
∵∠EBC=∠ECB，
∴∠EBC=∠GDC，
∴AB∥DG，
∵DE∥AH，
∴四邊形AEDG是平行四邊形，
∴DF=AF，
∵DH=CH，
∴FH∥AC，即：②正確；
③∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵EB=EC，
∴∠DEG=∠BED=45°，
∵AE∥DG，
∴∠DGE=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°，
∴EG=DG=AE，
同理可證：DG=CG，
∴CE=2AE，
∴tan∠BAC=$\frac{CE}{AE}$=2，即：③正確，
④∵四邊形AEDG是菱形，
∴AD⊥EG，
∴∠DFC=90°，
∵DH=CH，F(xiàn)H=DH，
∵FD=FH，
∴△FDH是等邊三角形，
∴∠FHD=60°，
∴∠ACD=∠FHD=60°．即：④正確，
故選D．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，直角三角形的性質，中垂線等，解本題的關鍵是四邊形AEDG是平行四邊形．