Question

4．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=AD=10，CD=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM∥BC交AB于M，過點(diǎn)Q作QN⊥AB交AB于N，以線段QN為一邊在QN的左側(cè)作正方形QEFN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），線段PM掃過平面部分與正方形QEFN重疊部分的面積為S．
（1）求兩點(diǎn)M、F相遇時(shí)t的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PM是否過點(diǎn)E，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到F，N之間時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）請(qǐng)直接寫出t值，使線段PM將正方形QEFN分割的兩部分能拼成一個(gè)梯形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知和題意證明△PAM∽△QNB∽△CGB，求出AM、FN、BN的長(zhǎng)，根據(jù)AM+FN+BN=AB，求出t；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，設(shè)線段PM交折線FE-EQ于點(diǎn)H，證明H與E重合；
（3）分情況畫出圖形，表示出重疊部分的面積S，求出函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)題意和圖形直接寫出時(shí)間t．

解答 解：（1）如圖1，過C作CG⊥AB，
∵PM∥BC，
∴∠PMA=∠CBA，
∵∠A=∠QNB=∠CGB=90°，
∴△PAM∽△QNB∽△CGB，
∴$\frac{PA}{AM}$=$\frac{QN}{NB}$$\frac{CG}{GB}$=$\frac{10}{10-5}$=2，
∵PA=4t，BQ=$\sqrt{5}$t，
∴AM=2t，BN=t，QN=FN=2t，
當(dāng)兩點(diǎn)M、N相遇時(shí)，AM+FN+BN=AB，即2t+2t+t=10，
解得：t=2；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，設(shè)線段PM交折線FE-EQ于點(diǎn)H，
∵AP=AD=10，即t=$\frac{5}{2}$，
∴AM=5，BN=$\frac{5}{2}$，F(xiàn)N=5，
∴FM=AM+BN+FN-AB=5+$\frac{5}{2}$+5-10=$\frac{5}{2}$，
∴FH是△PAM得中位線，
∴FH=$\frac{1}{2}$AP=5，
∵EF=5，
∴H與E重合，即線段PM過點(diǎn)E；
（3）當(dāng)M和N重合時(shí)，如圖②，CP=MB，
∴CP=DC-DP=5-（4t-10），即5-（4t-10）=t，
解得，t=3

①當(dāng)2≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，如圖③，
S=$\frac{1}{2}$FH•FM=$\frac{1}{2}$×2FM•FM=FM²=（AM+FN+BN-AB）²=（5t-10）²
=25t²-100t+100，

②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t≤3時(shí)，如圖④，
EH=EQ-HQ=EQ-PC=EQ-（DC-DP）=6t-15，
FM=EH+BN=7t-15，
S=$\frac{1}{2}$（EH+FM）•EF=$\frac{1}{2}$（13t-30）•2t=13t²-30t，

③當(dāng)3＜t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，如圖⑤⑥，
S=S_{正方形EFNQ}-S_△HQI=（2t）²-$\frac{1}{2}$HQ•IQ
=4t²-（15-4t）²=-12t²+120t-225，

④當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{15}{4}$時(shí)，如圖⑦，
S=S_矩形ANQK-S_△HQI=2t（10-t）-（15-4t）²=-18t²+140t-225，

（4）如圖③，當(dāng)H為EF中點(diǎn)時(shí)，符合條件，
HF=t，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$t，MN=$\frac{3}{2}$t
2t+$\frac{3}{2}$t+t=10，t=$\frac{20}{9}$；
如圖④，從圖形可以看出當(dāng)$\frac{5}{2}$≤t≤3時(shí)，符合條件；
如圖⑥，當(dāng)I是QN的中點(diǎn)時(shí)，符合條件，t=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，列出關(guān)系式求解．