Question

14．例：如圖①，平面直角坐標(biāo)系xOy中有點B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面積．解：過點B作BD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E．依題意，可得
S_△OBC=S_梯形BDEC+S_△OBD-S_△OCE =$\frac{1}{2}$（BD+CE）（OE-OD）+$\frac{1}{2}$OD•BD-$\frac{1}{2}$OE•CE=$\frac{1}{2}$×（3+4）×（5-2）+$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×5×4=3.5．
∴△OBC的面積為3.5．
（1）如圖②，若B（3，y）、C（x，5）均為第一象限的點，O、B、C三點不在同一條直線上．仿照例題的解法，求△OBC的面積（用含x、y、的代數(shù)式表示）；
（2）如圖③，若三個點的坐標(biāo)分別為A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四邊形OABC的面積．
（3）若三個點的坐標(biāo)分別A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），△ABC的面積為12．求a的值，

Answer 1

分析 （1）△OBC的面積等于梯形BDEC的面積+△OBD的面積-△OCE的面積即可；
（2）根據(jù)（1）的特點先求出△OAB的面積，再求出△OBC的面積，最后求和即可；
（3）分點C在第二象限和第三現(xiàn)象兩種情況，同（2）的方法計算即可．

解答 解：（1）如圖②，

過點B作BD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E．依題意，可得
∵B（3，y）、C（x，5）
∴S_△OBC=S_梯形BDEC+S_△OBD-S_△OCE
=$\frac{1}{2}$（BD+CE）（OE-OD）+$\frac{1}{2}$OD•BD-$\frac{1}{2}$OE•CE
=$\frac{1}{2}$×（y+5）×（x-3）+$\frac{1}{2}$×3×y-$\frac{1}{2}$×x×5
=$\frac{1}{2}$xy-$\frac{15}{2}$．
（2）如圖③，連接OB，過點A作AD⊥x軸于D，點B作BE⊥x軸于E，點C作CF⊥x軸于FM

∵三個點的坐標(biāo)分別為A（2，5），B（7，7），C（9，1），
∴S_{四邊形OABC}=S_△OAD+S_梯形ADEB+S_梯形BEFC-S_△OFC
=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×（5+7）×（7-2）+$\frac{1}{2}$×（7+1）×（9-7）-$\frac{1}{2}$×9×1
=38.5，
（3）當(dāng)點在第二象限時，即a＞0時，
如圖4．連接OA，OC，

∵A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），
∴同（1）的方法得出，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×a-$\frac{1}{2}$×4×2-[$\frac{1}{2}$×（2+a）×（2+2）-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×a]
∵△ABC的面積為12，
∴$\frac{1}{2}$×4×a-[$\frac{1}{2}$×（2+a）×（2+2）-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×a]=12，
∴a=18，
當(dāng)點在第三象限時，即a＜0時，
如圖4．連接OA，OC，

∵A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），
∴同（1）的方法得出，
$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×（-a）-[$\frac{1}{2}$（2+2）（2-a）-$\frac{1}{2}$×（2+4）×2-$\frac{1}{2}$×2×（-a）]=12，
∴a=-6，
即：滿足條件的a=-6或a=18．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了平面坐標(biāo)系內(nèi)，幾何圖形的面積的計算方法，解本題的關(guān)鍵是由前兩問找出規(guī)律求第三問．