Question

5．如圖1和圖2，在△ABC中，AB=13，BC=4，AC=15．
【探究】如圖1，S_△ABC=24．
【拓展】如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足分別為M、N．設(shè)BD=x，AM=a，CN=b．（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，我們認(rèn)為S_△ABD=0）
（1）用含x、a或b的代數(shù)式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（a+b）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（a+b）的最大值和最小值；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍．
【發(fā)現(xiàn)】請你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最�。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值．

Answer 1

分析 【探究】設(shè)AE=x，則CE=15-x，再根據(jù)勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出BE的長，利用三角形的面積公式可直接求出△ABC的面積；
（1）用a、b及x表示出△ABD及△CBD的面積，根據(jù)S_△ABC=S_△ABD+S_△CBD即可得到a+b關(guān)于x的反比例函數(shù)關(guān)系式．
（2）借助（1）的結(jié)論，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BD⊥AC時，x最小，由面積公式可求得；因?yàn)锳B=13，BC=4，所以當(dāng)BD=BC=4時，x最大．從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值和最小值；
（3）當(dāng)x=$\frac{16}{5}$時，BD⊥AC，線段AC上存在唯一的點(diǎn)D；當(dāng)$\frac{16}{5}$＜x≤4時，此時在線段AC上存在兩點(diǎn)D；當(dāng)4＜x≤13時，此時在線段AC上存在唯一的點(diǎn)D．
【發(fā)現(xiàn)】由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線．

解答 解：【探究】如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AC，設(shè)AE=x，則EC=15-x，
在Rt△ABE中，BE²=AB²-AE²=13²-x²，
在Rt△BCE中，BE²=BC²-CE²=4²-（15-x）²，
∴13²-x²=4²-（15-x）²，
∴x=12.6，
∴BE²=13²-x²=10.24
∴BE=3.2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BE=$\frac{1}{2}$×15×3.2=24，
故答案為24；
【拓展】（1）設(shè)AM=a，CN=b，
∵由三角形面積公式，得S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$xa，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CN=$\frac{1}{2}$xb，
（2）由（1）知，a=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，b=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴a+b=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{2{S}_{△ABC}}{x}$=$\frac{48}{x}$，
∵△ABC中AC邊上的高為$\frac{2{S}_{△ABC}}{AC}$=$\frac{48}{15}$=$\frac{16}{5}$，
∴x的取值范圍為$\frac{16}{5}$≤x≤13．
∵a+b隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=$\frac{16}{5}$時，（a+b）的最大值為15，當(dāng)x=13時，（a+b）的最小值為$\frac{48}{13}$．
（3）∵當(dāng)x=$\frac{16}{5}$時，BD⊥AC，
∴線段AC上存在唯一的點(diǎn)D；
當(dāng)$\frac{16}{5}$＜x≤4時，此時在線段AC上存在兩點(diǎn)D；
當(dāng)4＜x≤13時，此時在線段AC上存在唯一的點(diǎn)D．
∴x的取值范圍為x=$\frac{16}{5}$或4＜x≤13；
【發(fā)現(xiàn)】：∵AB=13，BC=4，AC=15．
∴AC＞BC＞AB，
∴過A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線，AC邊上的高的長$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．