Question

2．如圖，已知點(diǎn)A（4，0），以A為圓心作⊙A與y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B，過B作⊙A的切線l．
（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，12），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點(diǎn)．求DE的長；
（3）點(diǎn)F是切線DE上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時，求出BF的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=8，然后設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）由于DE是⊙A的切線，連接AE，那么根據(jù)切線的性質(zhì)知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圓的半徑，即AE=OA=AB=4，而A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即AB=BD=4，由此可得到AD的長，進(jìn)而可利用勾股定理求得切線DE的長；
（3）若△BFD與EAD△相似，則有兩種情況需要考慮：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根據(jù)不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長．

解答 解：（1）∵A（4，0），⊙A與y軸切于原點(diǎn)，
∴⊙A的半徑為4．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為為（8，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-8）²+k；
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和C（0，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+k=0}\\{64a+k=12}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，k=-4．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-8）²-4．
（2）如圖1所示：連接AE．

∵DE是⊙A的切線，
∴∠AED=90°，AE=4，
∵直線l是拋物線的對稱軸，點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)，
∴AB=BD=4，
∴AD=8；
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=8²-4²=48，
∴DE=4$\sqrt{3}$．
（3）如圖2所示：當(dāng)FB⊥AD時，連結(jié)AE．

∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{BD}$即$\frac{4}{BF}=\frac{4\sqrt{3}}{4}$．
解得：BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
如圖3所示：當(dāng)BF⊥ED時，連結(jié)AE、過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F．

∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$即$\frac{4}{BF}$=$\frac{8}{4}$．
∴BF=2．
綜上所述，BF的長為2或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的對稱性、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等重要知識，當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確的情況下，分類討論是解題的關(guān)鍵．