Question

3．定義：若點P（a，b）在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，將以a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax²+bx稱為函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的一個“派生函數(shù)”．例如：點（2，$\frac{1}{2}$）在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，則函數(shù)y=2x²+$\frac{1}{2}x$稱為函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的一個“派生函數(shù)”．現(xiàn)給出以下兩個命題：
（1）存在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的一個“派生函數(shù)”，其圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)
（2）函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函數(shù)”，的圖象都經(jīng)過同一點，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 命題（1）與命題（2）都是真命題
• B． 命題（1）與命題（2）都是假命題
• C． 命題（1）是假命題，命題（2）是真命題
• D． 命題（1）是真命題，命題（2）是假命題

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx的性質(zhì)a、b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a、b異號對稱軸在y軸右側(cè)即可判斷．
（2）根據(jù)“派生函數(shù)”y=ax²+bx，x=0時，y=0，經(jīng)過原點，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵P（a，b）在y=$\frac{1}{x}$上，
∴a和b同號，所以對稱軸在y軸左側(cè)，
∴存在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的一個“派生函數(shù)”，其圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)是假命題．
（2）∵函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函數(shù)”為y=ax²+bx，
∴x=0時，y=0，
∴所有“派生函數(shù)”為y=ax²+bx經(jīng)過原點，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函數(shù)”，的圖象都經(jīng)過同一點，是真命題．
故選C．

點評 本題考查命題與定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵，記住二次函數(shù)y=ax²+bx的性質(zhì)a、b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a、b異號對稱軸在y軸右側(cè)，屬于基礎(chǔ)題．