Question

11．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：BE=CD；
（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
（2）先證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=$\frac{1}{2}$AE•BF，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}&{\;}\\{∠DAF=∠E}&{\;}\\{AF=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面積=△ECF的面積，
∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．