Question

13．定義：有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形．
（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；
（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點(diǎn)A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．
（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當(dāng)AD的長為何值時(shí)，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時(shí)對角線AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，確定出∠A的范圍；
（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
（3）分三種情況分別討論計(jì)算AB的長，從而得出當(dāng)AD=2時(shí)，AB最長，最后計(jì)算出對角線AC的長．

解答 解：（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°-3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°-3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四邊形ABCD是三等角四邊形
（3）①當(dāng)60°＜∠A＜90°時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴EB=DF，DE=FB，
∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，
設(shè)AD=x，AB=y，
∴AE=y-4，CF=4-x，
∵△DAE∽△DCF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{y-4}{4-x}=\frac{x}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+x+4=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+5，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是5，
即：當(dāng)AD=2時(shí)，AB的最大值為5，
②當(dāng)∠A=90°時(shí)，三等角四邊形是正方形，
∴AD=AB=CD=4，
③當(dāng)90°＜∠A＜120°時(shí)，∠D為銳角，如圖2，

過點(diǎn)D作DE∥BC，∠DCB=∠CBA，
∴四邊形BCDE是等腰梯形，
∴CD=EB=4，
∵AE=4-AB＞0，
∴AB＜4，
綜上所述，當(dāng)AD=2時(shí)，AB的長最大，最大值是5；
此時(shí)，AE=1，如圖3，

過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，
∵DA=DE，DN⊥AB，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$，
∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，
∴△DAN∽△CBM，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AN}{BM}$，
∴BM=1，
∴AM=4，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{16+15}$=$\sqrt{31}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和是360°，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是分類畫出圖形，也是解本題的難點(diǎn)．