Question

9．正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn)．若△PBE是等腰三角形，則腰長為2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 分情況討論：（1）當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)和C點(diǎn)重合，求出PB長度即可；若B為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)為CD中點(diǎn)；
（2）當(dāng)PB為底時(shí)，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；
①由題意得出BM=$\frac{1}{2}$BP=$\sqrt{5}$，證明△BME∽△BAP，得出比例式$\frac{BE}{BP}=\frac{BM}{BA}$，即可求出BE；
②設(shè)CE=x，則DE=4-x，根據(jù)勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．

解答 解：分情況討論：
（1）當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中點(diǎn)，
∴AP=DP=2，
根據(jù)勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
若B為頂點(diǎn)，則根據(jù)PB=BE′得，E′為CD中點(diǎn)，此時(shí)腰長PB=2$\sqrt{5}$；
（2）當(dāng)PB為底邊時(shí)，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；
①當(dāng)E在AB上時(shí)，如圖2所示：
則BM=$\frac{1}{2}$BP=$\sqrt{5}$，
∵∠BME=∠A=90°，∠MBE=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{BM}{BA}$，即$\frac{BE}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴BE=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖3所示：
設(shè)CE=x，則DE=4-x，
根據(jù)勾股定理得：BE²=BC²+CE²，PE²=DP²+DE²，
∴4²+x²=2²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
綜上所述：腰長為：2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
故答案為：2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．