Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=$\sqrt{3}$cm，若AO=xcm，⊙O的半徑為1cm，請問：當x在什么范圍內(nèi)取值時，AC與⊙O相交、相切、相離？

Answer 1

分析 由AC=3，BC=$\sqrt{3}$，可求出∠A的大小，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可得到OD和AO的關(guān)系．
（1）若圓O與AC相離，則有OD大于r，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍；
（2）若圓O與AC相切，則有OD=r，求出x的值即可；
（3）若圓O與AC相交，則有OD小于r，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍．

解答 解：作OD⊥AC，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AO=x，
∴OD=$\frac{1}{2}$x．
（1）若圓O與AC相離，則有OD大于r，即$\frac{1}{2}$x＞1，解得：x＞2；
（2）若圓O與AC相切，則有OD等于r，即$\frac{1}{2}$x=1，解得：x=2；
（3）若圓O與AC相交，則有OD小于r，即$\frac{1}{2}$x＜1，解得：0＜x＜2；
綜上可知：當x＞2時，AC與⊙O相離；x=2時，AC與⊙O相切；0＜x＜2時，AC與⊙O相交．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來判斷．