Question

13．如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，連結(jié)ED，且延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：BC=FC
（2）若AE：EB=1：3，CD=6，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，由等角的余角相等，易證得∠F=∠EBD．由弦切角定理，易證得∠F=∠CDF．可得CD=CF，又由切線長(zhǎng)定理，可得CD=CB，繼而可證得BC=FC；
（2）由AE：EB=1：3，設(shè)AE=2x，則EB=6x，OE=OD=3x，在Rt△ADO中由勾股定理得AD=4x，再由銳角三角形函數(shù)列方程求得．

解答 （1）證明：連接OD，BD、因?yàn)锳C與⊙O切于點(diǎn)D，則OD⊥AC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDC=∠CBD，
∴DC=BC，
∵BE是直徑，
∴∠BDF=∠BDC+∠FDC=90°，
又∵∠CBD+∠F=90°，
∴∠F=∠FDC，
∴DC=CF，
又∵由上面證明可知DC=BC，
∴CF=BC；

（2）解：AE：EB=1：3，
設(shè)AE=2x，
則EB=6x，OE=OD=3x，
在Rt△ADO中由勾股定理得AD=4x，
∵tanA=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$，tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{8x}$，
∴x=4，
∴AD=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理、切線長(zhǎng)定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．