Question

8．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G，與射線CA相交于點(diǎn)Q．若AQ=12，BP=3，則PG=5．

Answer 1

分析 首先得出△BEP∽△CQE，進(jìn)而求出BE的長(zhǎng)，再得出△BEG∽△EPG，即可得出$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BG}{EG}$=$\frac{EG}{PG}$，求出PG的長(zhǎng)即可．

解答 解：∵∠QEC=180°-∠DEF-∠BEP=135°-∠BEP，
∠BPE=180°-∠B-∠BEP=135°-∠BEP，
∴∠QEC=∠BPE，
又∵∠EDF=∠C=45°，
∴△BEP∽△CQE，
∴$\frac{BE}{QC}$=$\frac{BP}{EC}$，
設(shè)EC=x，則BE=x，AC=$\sqrt{2}$x，
故$\frac{x}{12+\sqrt{2}x}$=$\frac{3}{x}$，
解得：x₁=6$\sqrt{2}$，x₂=-3$\sqrt{2}$（舍去），
∴AB=AC=6$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=12，則AP=9，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BE于點(diǎn)N，
∵BP=3，∠B=45°，
∴BN=PN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故NE=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
則PE=3$\sqrt{5}$，
∵∠B=∠PEG，∠BGE=∠EGP，
∴△BEG∽△EPG，
∴$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BG}{EG}$=$\frac{EG}{PG}$，
設(shè)PG=y，
∴$\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{3+y}{EG}$=$\frac{EG}{y}$，
解得：y=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．