Question

18．四邊形ABCO中，BC∥AO，BC與OA間的距離為$\sqrt{3}$，OA=6，∠AOC=60°，∠OAB=30°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也同時(shí)從點(diǎn)B沿B→C→O的線路以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）計(jì)算線段OC，BC的長(zhǎng)，OC=2，BC=2；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△OPQ面積的最大值；
（3）以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請(qǐng)求出t的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥OA于點(diǎn)M，BR⊥OA于R，求出CM，BR的值，根據(jù)銳角三角形關(guān)系得出OM，AR的長(zhǎng)，即可求出答案；
（2）作CM⊥OA于點(diǎn)M，BR⊥OA于R，根據(jù)三角形的面積求出得出函數(shù)關(guān)系式，再求最值即可；
（3）當(dāng)Q在BC上，分為兩種情況，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；當(dāng)Q在OC上，分為兩種情況，求出每種情況，再進(jìn)行判斷，最后即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，作CM⊥OA于點(diǎn)M，BR⊥OA于R，
∵∠AOC=60°，
∴∠OCM=30°，
∵BC與OA間的距離為$\sqrt{3}$，
∴CM=BR=$\sqrt{3}$，
∴MO=1，CO=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AR=3，
∵AO=6，
∴BC=AO-MO-AR=2；
故答案為：2，2；

（2）如圖2，作CM⊥OA于點(diǎn)M，
∵AR=3，BC=MR=2，
∵∠CMO=90°，∠OCM=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到OC邊時(shí)，OQ=4-t，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2}$（4-t），
∴QG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
又∵OP=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t²-4t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$[（t-2）²-4]=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）²+2$\sqrt{3}$，
即△OPQ面積的最大值為：2$\sqrt{3}$；

（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，
如圖3，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，
此時(shí)OP=2t，OQ²=（$\sqrt{3}$）²+（3-t）²，PQ²=（$\sqrt{3}$）²+[2t-（3-t）]²，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖3，則∠PQD=90°，
∴四邊形PQDO為矩形，
∴OP=QD，
∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如圖4，
則OQ²+PQ²=PO²，
即（3-t）²+（$\sqrt{3}$）²+（3t-3）²+（$\sqrt{3}$）²=4t²，
解得：t₁=t₂=2，
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，Q在OC邊上運(yùn)動(dòng)，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴$\frac{OQ}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
若∠OPQ=90°，同理：$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{1}{2}$，
而此時(shí)OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴$\frac{OQ}{OP}$$≠\frac{1}{2}$，$\frac{OP}{OQ}$≠$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)Q在OC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當(dāng)t=1或t=2時(shí)，△OPQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合以及含30°角的直角三角形、勾股定理、梯形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．