Question

10．已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．頂點為點C．
（1）求直線AC的解析式；
（2）試問在拋物線的對稱軸上是否存在一個定點，使得過該定點的任意一條直線與拋物線有兩個交點時，這兩個交點與拋物線頂點的連線互相垂直？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B和C的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；
（2）可設D（0，c），過D的直線與拋物線交于E、F兩點，分別設出E、F的坐標，可表示出直線CE、CF的斜率，根據(jù)兩直線垂直，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關系可得到關于c的方程，可求得c的值．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{4}$x²-4中，令y=0，則$\frac{1}{4}$x²-4=0，解得：x₁=-4，x₂=4，
∴A（-4，0），B（4，0），
C（0，-4），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A、C兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{-4=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-4；
（2）∵拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-4的對稱軸是y軸，
∴設定點D（0，c），過點D的直線為y=ax+c，
設過D的直線與拋物線交于E、F兩點，設E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F）
則y_E=$\frac{1}{4}$${x}_{E}^{2}$-4，y_F=$\frac{1}{4}$${x}_{F}^{2}$-4，
∵C（0，-4），
∴k_CE=$\frac{{y}_{E}+4}{{x}_{E}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{E}^{2}}{{x}_{E}}$=$\frac{1}{4}$x_E，k_CF=$\frac{{y}_{F}+4}{{x}_{F}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{F}^{2}}{{x}_{F}}$=$\frac{1}{4}$x_F，
∵直線CE、CF互相垂直，
∴k_CE•k_CF=-1，即$\frac{1}{4}$x_E•$\frac{1}{4}$x_F=-1，
∴x_E•x_F=-16，
聯(lián)立過D的直線和拋物線解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+c}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-4}\end{array}\right.$，消去y可得$\frac{1}{4}$x²-ax-4-c=0，
由題意可知x_E和x_F是該方程的兩根，
∴x_E•x_F=$\frac{-4-c}{\frac{1}{4}}$=-16-4c，
∴-16-4c=-16，解得c=0，
∴D點坐標為（0，0），
即存在滿足條件的D點．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點問題，在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中由直線相互垂直得關于D點坐標的方程是解題的關鍵．