Question

18．如圖所示，△ABC與△CDE都是等邊三角形，AD與BE交于點M．
（1）求證：AD=BE；
（2）聯(lián)結MC，求證：∠BMC=∠DMC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（2）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，根據(jù)全等三角形的性質得到S_△ACD=S_△BCE，由于$\frac{1}{2}$AD•CH=$\frac{1}{2}$BE•CQ，于是得CQ=CH，然后根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，
∵△ACD≌△BCE，
∴S_△ACD=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$AD•CH=$\frac{1}{2}$BE•CQ，
∴CQ=CH，
∴CO平分∠BOD．

點評 本題考查了三角形全等的判定和性質及等邊三角形的性質；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結合等邊三角形的性質，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關鍵．