Question

3．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：
①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；
③∠AOB=150°；
④S_{四邊形AOBO′}=6+3$\sqrt{3}$；
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②

Answer 1

分析 證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；
S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，故結(jié)論④錯(cuò)誤．

解答 解：如圖，

由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
如圖，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結(jié)論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結(jié)論③正確；
S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，
故結(jié)論④錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．